Угол между скрещивающимися прямыми. Метод координат. Задание 14

В этой статье я расскажу, как находить угол между скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

Если мы решили использовать этот метод, то будем придерживаться такого алгоритма:

1. Вводим систему координат.

2. Находим координаты направляющих векторов данных прямых.

3. По формуле косинуса угла между векторами находим косинус угла между направляющими векторами.

Косинус угла между векторами vec{a}(x_1;y_1;z_1) и vec{b}(x_2;y_2;z_2) вычисляется по формуле:

cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }

Вот, собствено, и все.

Важное уточнение: за угол между прямыми принимают меньший из двух углов, образованный этими прямыми, поэтому косинус угла между прямыми должен быть больше нуля, и он равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

Решим задачу.

В правильной шестиугольной призме A...F_1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA_1 и DB_1:1. Введем систему координат:

2. а) Найдем координаты направляющего вектора прямой A_1B, для этого найдем координаты точек A_1 и B.

Длину отрезка AEнайдем по тереме косинусов из треугольника AOE:

AE =sqrt{1^2+1^2-2*1*1cos{120^{circ}}}=sqrt{3}

A_1(0;sqrt{3};1); B (1;sqrt{3};0)

Чтобы найти координаты вектора vec{A_1B }, из координат конца вычтем координаты начала. Получим: vec{A_1B }(1;0;-1)

б) Найдем координаты направляющего вектора прямой B_1D, для этого найдем координаты точек B_1 и D

B_1 (1;sqrt{3};1)

D (1;0;0)

vec{B_1D }(0;-sqrt{3};-1)

3. Найдем косинус угла beta между векторами vec{A_1B } и vec{B_1D }.

cos{beta}=delim{|}{{{1}*{0}+{0}*({-sqrt{3}})+({-1})({-1})}/{sqrt{({-1})^2+{0}^2+({-1})^2}{sqrt{{0}^2+({-sqrt{3}})^2+({-1})^2}} }}{|}=1/{2sqrt{2}}={sqrt{2}}/4

Ответ:  {sqrt{2}}/4