matematika_12

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14
Угол между плоскостями и вектор нормали. Задание 14
Угол между скрещивающимися прямыми. Метод координат. Задание 14
Площадь сечения — 2. Задание 14
Расстояние от точки до прямой. Задание 14

Угол между скрещивающимися прямыми. Метод координат. Задание 14

В этой статье я расскажу, как находить угол между скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

Если мы решили использовать этот метод, то будем придерживаться такого алгоритма:

1. Вводим систему координат.

2. Находим координаты направляющих векторов данных прямых.

3. По формуле косинуса угла между векторами находим косинус угла между направляющими векторами.

Косинус угла между векторами $vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ и $vec{b}(x_2;y_2;z_2)$ вычисляется по формуле:

$cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }$

Вот, собственно, и все.

Важное уточнение: за угол между прямыми принимают меньший из двух углов, образованный этими прямыми, поэтому косинус угла между прямыми должен быть больше нуля, и он равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

Решим задачу.

В правильной шестиугольной призме A...F_1 , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA_1 и DB_1 :

1. Введем систему координат:

2. а) Найдем координаты направляющего вектора прямой A_1B , для этого найдем координаты точек A_1 и .

Длину отрезка найдем по тереме косинусов из треугольника AOE :

$AE =sqrt{1^2+1^2-2*1*1cos{120^{circ}}}=sqrt{3}$

$A_1(0;sqrt{3};1)$ ; B (1;sqrt{3};0)

Чтобы найти координаты вектора $vec{A_1B }$ , из координат конца вычтем координаты начала. Получим: $vec{A_1B }(1;0;-1)$

б) Найдем координаты направляющего вектора прямой B_1D , для этого найдем координаты точек B_1 и

$B_1 (1;sqrt{3};1)$

D (1;0;0)

$vec{B_1D }(0;-sqrt{3};-1)$

3. Найдем косинус угла beta между векторами $vec{A_1B }$ и $vec{B_1D }$ .

$cos{beta}=delim{|}{{{1}*{0}+{0}*({-sqrt{3}})+({-1})({-1})}/{sqrt{({-1})^2+{0}^2+({-1})^2}{sqrt{{0}^2+({-sqrt{3}})^2+({-1})^2}} }}{|}=$ 1/{2sqrt{2}}={sqrt{2}}/4

Ответ: {sqrt{2}}/4

Площадь сечения — 2. Задание 14

В последнее время в вариантах для подготовки к ЕГЭ по математике в Задании 14 часто стали появляться задачи на нахождение площади сечения. Рассмотрим решение такой задачи:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 AB=BC=10sqrt{2} , $AA_1=2sqrt{7}$ .Сечение параллелепипеда проходит через точки и и образует с плоскостью ABC угол {alpha}=arctg{sqrt{7}}/3 . Найдите площадь сечения.

Как мы уже видели, часто бывает удобно находить площадь сечения через площадь его ортогональной проекции.

Нахождение площади треугольника через площадь его ортогональной проекции легко иллюстрируется таким рисунком:— высота треугольника ABC , C{prime}H — высота треугольника ABC{prime} , который является ортогональной проекцией треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника CHC{prime} : {CH}={C{prime}H}/{cos{alpha}} .

Площадь треугольника ABC{prime} равна {AB*C{prime}H}/2 .

Площадь треугольника ABC равна {AB*CH}/2={AB*{{C{prime}H}/{cos{alpha}}}}/2 .

Cледовательно, площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABC{prime} деленной на косинус угла между плоскостями треугольника ABC и треугольника , который является ортогональной проекцией треугольника ABC :

$S_{ABC}={S_{ABC{prime}}}/{cos{alpha}}$

Поскольку площадь любого многоугольника можно представить в виде суммы площадей треугольников, площадь многоугольника равна площади его ортогональной проекции на плоскость деленной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции.

Используем этот факт для решения задачи:

План решения такой:

А) Строим сечение.

Б) Находим его ортогональную проекцию на плоскость основания.

В) Находим площадь ортогональной проекции.

Г) Находим площадь сечения.

Итак.

1. Сначала нам нужно построить это сечение.

Очевидно, что отрезок принадлежит плоскости сечения и плоскости основания, то есть принадлежит линии пересечения плоскостей:

Угол между двумя плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, которые проведены к линии пересечения плоскостей и лежат в этих плоскостях.

BD{ortho}AC . Пусть точка — точка пересечения диагоналей основания. — перпендикуляр к линии пересечения плоскостей, который лежит в плоскости основания:

2. Определим положение перпендикуляра, который лежит в плоскости сечения. (Помним, что если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Ищем наклонную по ее проекции () и углу между проекцией и наклонной). Найдем тангенс угла COC_1 между OC_1 и :

$tgCOC_1={C_1C}/OC$

$OC={AC}/2={sqrt{(10sqrt{2})^2+(10sqrt{2})^2}}/2=10$

$tgCOC_1={2sqrt{7}}/{10}={sqrt{7}}/5<{sqrt{7}}/3$ , следовательно, угол {alpha}=arctg{sqrt{7}}/3 между плоскостью сечения и плоскостью основания больше, чем между OC_1 и . То есть сечение расположено как-то так:

CP=OCtg{alpha}=10*{sqrt{7}}/3=10/3{sqrt{7}}

— точка пересечения и A_1C_1

|| B_1D_1 .

Итак, вот наше сечение:

3. Найдем проекцию сечения BLMD на плоскость основания. Для этого найдем проекции точек и .

Четырехугольник BL_1M_1D — проекция сечения BLMD на плоскость основания.

4. Найдем площадь четырехугольника BL_1M_1D . Для этого из площади треугольника BCD вычтем площадь треугольника L_1CM_1

Найдем площадь треугольника L_1CM_1 . Треугольник L_1CM_1 подобен треугольнику BCD . Найдем коэффициент подобия. Для этого рассмотрим треугольники OPC и OKK_1 :

${OK_1}/{OC}={KK_1}/{PC}={CC_1}/{PC}={2sqrt{7}}/{{10{sqrt{7}}}/3}=3/5$ . Следовательно, ${K_1C}/{OC}=2/5$ и площадь треугольника L_1CM_1 составляет 4/{25} площади треугольника BCD (отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия).

Тогда площадь четырехугольника BL_1M_1D равна 1-4/{25}={21}/{25} площади треугольника BCD и равна

$S_{BL_1M_1D}={21/25}*{{10sqrt{2}*10sqrt{2}}/2}=84$

5. Теперь найдем cos{alpha} .

$cos{alpha}=sqrt{1/{1+tg^2{alpha}}}=sqrt{1/{1+{{(sqrt{7}/3)}^2}}}=3/4$

6. И, наконец, получаем: $S_{BLMD}=S_{BL_1M_1D}:cos{alpha}=84:3/4=112$

Ответ: 112

Расстояние от точки до прямой. Задание 14

В этой статье я объясню, как находить расстояние от точки до прямой. Это умение необходимо для успешного решения задач из Задания С2.

Решим задачу:

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 , все ребра которой равны 1, найдите растояние от точки до прямой AC_1 :

Три точки всегда лежат в одной плоскости. Точки , C_1 и , являются вершинами плоского треугольника ABC_1 :

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

В нашем случае — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую AC_1 . То есть это высота треугольника ABC_1 , проведенная из вершины :Рассмотрим треугольник ABC_1 :

Он равнобедренный: AC_1=C_1B как диагонали равных квадратов.

Чтобы найти высоту , выразим два раза площадь треугольника ABC_1 — через основание AC_1 и высоту , и через основание и высоту C_1M :

$S_{ABC_1}={{AC_1}*{BK}}/2={{AB}*{C_1M}}/2$

По условию задачи все ребра нашей призмы равны 1.

Тогда $AC_1=sqrt{2}$ (как гипотенуза равнобедренного треугольника AA_1C_1 ).

C_1M найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MC_1B :

$C_1M=sqrt{{(C_1B)}^2-{(MB)}^2}=sqrt{{(sqrt{2})}^2-{(1/2)}^2}=sqrt{7/4}$

AB=1 .

Получим: {sqrt{2}*{BK}}/2={1*{sqrt{7}/2}}/2

Отсюда BK={sqrt{7}/sqrt{8}}=sqrt{14}/4

Ответ: sqrt{14}/4

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

В этой статье мы поговорим о том, как найти расстояние от точки до плоскости с помощью метода координат.

Решим задачу: в единичном кубе A....D_1 найдите расстояние от точки до плоскости CB_1D_1 .

На этот раз давайте решим ее с помощью метода координат.

Сначала немного теории.

Рассстояние rho от точки M_0(x_0,y_0,z_0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле:

${rho}=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:

В нашей задаче роль точки M_0(x_0,y_0,z_0) играет точка A(0,1,0) . То есть x_0=0 , y_0=1 , z_0=0

Теперь наша задача найти коэффициенты , , и в уравнении ax+by+cz+d=0 плоскости D_1B_1C .

Плоскость D_1B_1C определяется тремя точками D_1 (0,0,1) , B_1(1,1,1) и C (1,0,0) . Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0 , то получим верное равенство.

Коэффициент в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты , и , подставим координаты точек D_1 (0,0,1) , B_1(1,1,1) и C (1,0,0) в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0 . Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a+0*b+1*c+1=0} {1*a+1*b+1*c+1=0} {1*a+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{c+1=0} {a+b+c+1=0} {a+1=0}}}{ }

Отсюда: a=-1 , b=1 , c=-1

Подставим координаты точки A(0,1,0) и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

${rho}=delim{|}{(-1)*0+1*1+(-1)0+1}{|}/{sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}} =2/{sqrt{3}}={2sqrt{3}}/3$

Ответ: {2sqrt{3}}/3

Угол между плоскостями и вектор нормали. Задание 14

В этой статье я еще раз покажу вам решение задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат. Мы воспользуемся тем фактом, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям.

Задача такая:

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольник , в котором A_1B_1=12 , $A_1D_1=sqrt{31}$ . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра A_1D_1 перпендикулярно прямой BD_1 , если расстояние между прямыми и B_1D_1 равно 5.

Геометрическое решение этой задачи весьма неочевидно, однако, с помощью метода координат она решается в одно действие.

Заметим несколько важных вещей:

1. Угол между плоскостью основания и плоскостью, перпендикулярной прямой BD_1 , не зависит от точки, через которую проведена эта плоскость. Поэтому мы эту точку даже не будем наносить на чертеж.

2. Прямые и B_1D_1 лежат в параллельных плоскостях ABCD и A_1B_1C_1D_1 , поэтому расстояние между ними равно расстоянию между плоскостями, то есть высоте призмы. Отсюда DD_1=5 .

3. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.

Поместим нашу призму в систему координат и нанесем на чертеж данные задачи:

Вспомним, что

1. В уравнении плоскости ax+by+cz+d=0 коэффициенты (a;b;c) являются координатами вектора нормали к плоскости.

2. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)

Получается, что в этой задаче нам нужно найти угол между вектором BD_1 (по условию задачи плоскость проведена перпендикулярно прямой BD_1 ) и вектором B_1B (это вектор нормали к плоскости основания).

Косинус угла beta между векторами $vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ и $vec{b}(x_2;y_2;z_2)$ вычисляется по формуле:

$cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }$

Найдем координаты вектора BD_1

B(0;0;5)

$D_1(sqrt{31};12;0)$

$vec{BD_1}(sqrt{31};12;-5)$

$vec{B_1B}(0;0;5)$

Пусть beta - угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой BD_1 .

Тогда $cos{beta}=delim{|}{{-25}/{sqrt{(sqrt{31})^2+12^2+({-5})^2}sqrt{25}}}{|}=5/{sqrt{200}}=1/{2sqrt{2}}={sqrt{2}}/4$

Ответ: {sqrt{2}}/4

Угол между плоскостями и вектор нормали. Задание С2

В этой статье я еще раз покажу вам решение задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат. Мы воспользуемся тем фактом, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям.

Задача такая:

Основание прямой четырехугольной призмы — прямоугольник , в котором , $A_1D_1=sqrt{31}$ . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно 5.

Заметим несколько важных вещей:

3. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.

Поместим нашу призму в систему координат и нанесем на чертеж данные задачи:

Вспомним, что

1. В уравнении плоскости ax+by+cz+d=0 коэффициенты (a;b;c) являются координатами вектора нормали к плоскости.

2. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)

Получается, что в этой задаче нам нужно найти угол между вектором (по условию задачи плоскость проведена перпендикулярно прямой ) и вектором (это вектор нормали к плоскости основания).

Косинус угла beta между векторами $vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ и $vec{b}(x_2;y_2;z_2)$ вычисляется по формуле:

$cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }$

Найдем координаты вектора BD_1

B(0;0;5)

$D_1(sqrt{31};12;0)$

$vec{BD_1}(sqrt{31};12;-5)$

$vec{B_1B}(0;0;5)$

Тогда $cos{beta}=delim{|}{{-25}/{sqrt{(sqrt{31})^2+12^2+({-5})^2}sqrt{25}}}{|}=5/{sqrt{200}}=1/{2sqrt{2}}={sqrt{2}}/4$

Repmatika

Repmatika

Геометрия

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

Угол между плоскостями и вектор нормали. Задание 14

Угол между скрещивающимися прямыми. Метод координат. Задание 14

Площадь сечения — 2. Задание 14