В этой статье я еще раз покажу вам решение задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат. Мы воспользуемся тем фактом, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям.
Задача такая:
Основание прямой четырехугольной призмы 
— прямоугольник 
, в котором 
, 
. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра 
перпендикулярно прямой 
, если расстояние между прямыми 
и 
равно 5.
Геометрическое решение этой задачи весьма неочевидно, однако, с помощью метода координат она решается в одно действие.
Заметим несколько важных вещей:
1. Угол между плоскостью основания и плоскостью, перпендикулярной прямой , не зависит от точки, через которую проведена эта плоскость. Поэтому мы эту точку даже не будем наносить на чертеж.
2. Прямые и лежат в параллельных плоскостях 
и , поэтому расстояние между ними равно расстоянию между плоскостями, то есть высоте призмы. Отсюда 
.
3. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.
Поместим нашу призму в систему координат и нанесем на чертеж данные задачи:
Вспомним, что
1. В уравнении плоскости 
коэффициенты 
являются координатами вектора нормали к плоскости.
2. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)
Получается, что в этой задаче нам нужно найти угол между вектором (по условию задачи плоскость проведена перпендикулярно прямой ) и вектором 
(это вектор нормали к плоскости основания).
Косинус угла 
между векторами 
и 
вычисляется по формуле:
Найдем координаты вектора
Пусть — угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра 
перпендикулярно прямой .
Тогда 
Ответ: 