Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

В этой статье мы поговорим о том, как найти расстояние от точки до плоскости с помощью метода координат.

Решим задачу: в единичном кубе A....D_1 найдите расстояние от точки A до плоскости CB_1D_1.

На этот раз давайте решим ее с помощью метода координат.

Сначала немного теории.

Рассстояние rho от точки M_0(x_0,y_0,z_0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле:

{rho}=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:

В нашей задаче роль точки M_0(x_0,y_0,z_0) играет точка A(0,1,0). То есть x_0=0, y_0=1, z_0=0

Теперь наша задача найти коэффициенты a, b, c и d в уравнении ax+by+cz+d=0 плоскости D_1B_1C.

Плоскость D_1B_1C определяется тремя точками D_1 (0,0,1), B_1(1,1,1) и C (1,0,0). Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0, то получим верное равенство.

Коэффициент d в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты a, b и c, подставим координаты точек D_1 (0,0,1), B_1(1,1,1) иC (1,0,0) в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a+0*b+1*c+1=0} {1*a+1*b+1*c+1=0} {1*a+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{c+1=0} {a+b+c+1=0} {a+1=0}}}{ }

Отсюда: a=-1, b=1, c=-1

Подставим координаты точки A(0,1,0) и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

{rho}=delim{|}{(-1)*0+1*1+(-1)0+1}{|}/{sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}} =2/{sqrt{3}}={2sqrt{3}}/3

Ответ: {2sqrt{3}}/3